В 1950 году В. Л. Гинзбург и Л. Д. Ландау построили теорию сверхпроводимости, основанную на квантовой механике. Их теория является феноменологической, поскольку в ней принимаются определенные предположения, доказательством справедливости которых является то, что они правильно описывают некоторые свойства сверхпроводников.

В теории Гинзбурга — Ландау предполагается, что вся совокупность сверхпроводящих электронов описывается волновой функцией Ш(r

) от одной пространственной координаты. Вообще говоря, волновая функция п электронов в твердом теле есть функция п координат .

Введением функции Ш(r

) устанавливалось когерентное согласованное поведение всех сверхпроводящих электронов. Действительно, если все ns электронов ведут себя совершенно одинаково, согласованно, то для описания их поведения достаточно той же самой волновой функции, что и для описания поведения одного электрона, т. е. функции от одной переменной. Величину |Ш(r

)|2 можно рассматривать как плотность сверхпроводящих электронов, которая обращается в нуль при Т=ТС.

Теория Гинзбурга — Ландау исходит далее из того, что переход из нормального состояния в сверхпроводящее в отсутствие внешнего поля является фазовым переходом II рода. Теория таких переходов была разработана Ландау несколько раньше. В этой теории присутствовал некоторый параметр порядка, который в новой фазе (в нашем случае — в сверхпроводящей фазе) должен монотонно возрастать от нуля при Т=ТС до единицы при Т=0 К. В качестве этого параметра Гинзбург и Ландау выбрали функцию Ш(r

) .

Далее задача сводится к нахождению функции Ш(r

) и векторного потенциала поля А(r

), которые соответствуют минимуму свободной энергии сверхпроводящей фазы при определенных граничных условиях. В результате минимизации свободной энергии по Ш и по А были получены уравнения, получившие название уравнений Гинзбурга — Ландау. Рассмотрим, как это можно сделать.

Итак, Ш(r

) – параметр порядка. Нормировка этой волновой функции выбирается так, чтобы |Ш(r

)|2=ns/2, т.е. так, чтобы квадрат ее модуля равнялся половине плотности сверхпроводящих электронов. Рассмотрим однородный сверхпроводник без внешнего поля. Разложим свободную энергию Геймгольца по степеням |Ш|2 вблизи ТС:

где Fs0 – свободная энергия Геймгольца в свепрхпроводящем состоянии в отсутствие поля, а Fn - свободная энергия Геймгольца в нормальном состоянии. б и в - коэффициенты разложения. Найдем то значение | Ш |2 , при котором свободная энергия однородного сверхпроводника Fs0 достигает минимум. Это значение |Ш|2 будет решением уравнения

Найдем соответствующую производную.

отсюда найдем |Ш|2

| Ш |2 =-б/в

Подставим:

Fs0= Fn -б2/в + б2/2в= Fn - б2/2в (29)

Энергия сверхпроводящего состояния должна быть меньше энергии нормального, а для этого в>0 при Т<ТС. Ясно, что |Ш|2>0 поэтому б<0. При Т>Тс Fs0>Fn, поэтому в>0 и б>0. Таким образом, в>0 и не зависит от температуры. Тогда в первом приближении мы можем считать в=const. Поскольку при Т=Тс параметр порядка должен быть равен нулю, а при Т<Тс — отличен от нуля, следовательно, б=0 при Т=ТС и б<0 при Т<Тс. Поэтому в первом порядке по (Тс-Т) можно записать

б~(Т-Тс)=б0(Т-Тс)

Из формулы (30) получим

Fn-Fs0=б2/2в

Но эта разность равна H2cm/8р откуда имеем

H2cm = 4рб2/в

Теперь рассмотрим сверхпроводник в магнитном поле. Для такого сверхпроводника плотность свободной энергии Гиббса будет иметь вид

Т.е. в нашем случае

где Gn - плотность свободной энергии сверхпроводника и нормальном состоянии, Н0 — напряженность внешнего однородного магнитного поля, в котором находится сверхпроводник. Предпоследнее слагаемое представляет собой плотность магнитной энергии. Слагаемое с градиентным членом — это плотность кинетической энергии сверхпроводящих электронов. Полная энергия Гиббса сверхпроводника в магнитном поле будет равна